ગ્રહોની ગતિ માટે કેપ્લરનો બીજો નિયમ (ક્ષેત્રફળનો નિયમ) લખો અને સાબિત કરો.

(N/A) કેપ્લરનો બીજો નિયમ જણાવે છે કે: "કોઈપણ ગ્રહને સૂર્ય સાથે જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે."
સાબિતી:
ધારો કે એક ગ્રહ $P$ સૂર્ય $S$ ની આસપાસ લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ કરે છે. સૂર્યની સાપેક્ષમાં ગ્રહનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ છે. સૂક્ષ્મ સમયગાળા $\Delta t$ માં, ગ્રહ $P$ થી $P^{\prime}$ સુધી ગતિ કરે છે, જે સ્થાનાંતર $\Delta \vec{r} = \vec{v} \Delta t$ દર્શાવે છે.
સમય $\Delta t$ માં સ્થાન સદિશ દ્વારા આંતરાયેલું ક્ષેત્રફળ $\Delta A$ એ ત્રિકોણ $SPP^{\prime}$ ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે:
$\Delta A = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \Delta \vec{r}| = \frac{1}{2} |\vec{r} \times (\vec{v} \Delta t)| = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \vec{v}| \Delta t$
$\Delta t$ વડે ભાગતા, આપણને ક્ષેત્રીય વેગ મળે છે:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \vec{v}|$
સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી, તે સૂર્ય અને ગ્રહને જોડતી રેખા પર લાગે છે. તેથી, ટોર્ક $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} = 0$ થાય છે.
ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી, કોણીય વેગમાન $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p} = \vec{r} \times (m\vec{v}) = m(\vec{r} \times \vec{v})$ અચળ રહે છે.
ક્ષેત્રીય વેગના સમીકરણમાં $\vec{r} \times \vec{v} = \frac{\vec{L}}{m}$ મૂકતા:
$\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} |\frac{\vec{L}}{m}| = \frac{L}{2m}$
અહીં $L$ અને $m$ અચળ હોવાથી, $\frac{dA}{dt}$ પણ અચળ રહે છે. આ સાબિત કરે છે કે ગ્રહ સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ આંતરે છે.