बताइए कि निम्नलिखित में से कौन सा एक यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण नहीं है। अपने उत्तर के लिए कारण दीजिए।
$Y$ $-1$ $0$ $1$ $P(Y)$ $0.6$ $0.1$ $0.2$
| $Y$ | $-1$ | $0$ | $1$ |
| $P(Y)$ | $0.6$ | $0.1$ | $0.2$ |
(A) किसी तालिका के लिए एक यादृच्छिक चर $Y$ के प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व करने हेतु,दो शर्तों का पूरा होना आवश्यक है:
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(Y_i)$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \leq P(Y_i) \leq 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(Y_i) = 1$।
दी गई तालिका में:
प्रायिकताओं का योग $= 0.6 + 0.1 + 0.2 = 0.9$ है।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $0.9$ है,जो $1$ के बराबर नहीं है,इसलिए दी गई तालिका एक यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण नहीं है।
$1$. प्रत्येक प्रायिकता $P(Y_i)$ ऐसी होनी चाहिए कि $0 \leq P(Y_i) \leq 1$ हो।
$2$. सभी प्रायिकताओं का योग $1$ के बराबर होना चाहिए,अर्थात $\sum P(Y_i) = 1$।
दी गई तालिका में:
प्रायिकताओं का योग $= 0.6 + 0.1 + 0.2 = 0.9$ है।
चूंकि प्रायिकताओं का योग $0.9$ है,जो $1$ के बराबर नहीं है,इसलिए दी गई तालिका एक यादृच्छिक चर का प्रायिकता वितरण नहीं है।
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$X=x_i$ $-2$ $-1$ $0$ $1$ $2$ $P(X=x_i)$ $1/6$ $k$ $1/4$ $k$ $1/6$
इस यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
| $X=x_i$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ |
| $P(X=x_i)$ | $1/6$ | $k$ | $1/4$ | $k$ | $1/6$ |
इस यादृच्छिक चर का प्रसरण ज्ञात कीजिए।
निम्नलिखित प्रायिकता वितरण के लिए,$X$ का प्रत्याशित मान (expected value) ज्ञात कीजिए:
$x$ $0$ $1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $P(x)$ $k$ $0.3$ $0.15$ $0.15$ $0.1$ $2k$
| $x$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ | $4$ | $5$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(x)$ | $k$ | $0.3$ | $0.15$ | $0.15$ | $0.1$ | $2k$ |
यदि एक सतत यादृच्छिक चर $X$ का प्रायिकता घनत्व फलन (p.d.f.) $f(x) = \begin{cases} k(9 + 8x - x^2), & \text{for } -1 \leq x \leq 4 \\ 0, & \text{अन्यथा} \end{cases}$ द्वारा दिया गया है, तो $k$ का मान है:
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