કારણ સાથે જણાવો કે શું નીચે આપેલ વિધેય $h: \{2, 3, 4, 5\} \rightarrow \{7, 9, 11, 13\}$ જ્યાં $h = \{(2, 7), (3, 9), (4, 11), (5, 13)\}$ છે,તેનું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે?

(A) વિધેય $h$ નું પ્રતિવિધેય ત્યારે જ અસ્તિત્વ ધરાવે છે જો તે એક-એક અને વ્યાપ્ત (બાયજેક્શન) હોય.
$1$. એક-એક ચકાસણી: વિધેય $h$ પ્રદેશ $\{2, 3, 4, 5\}$ ના ભિન્ન ઘટકોને સહપ્રદેશ $\{7, 9, 11, 13\}$ ના ભિન્ન ઘટકો સાથે જોડે છે. ખાસ કરીને,$h(2)=7, h(3)=9, h(4)=11, h(5)=13$. પ્રદેશના કોઈપણ બે ઘટકો સમાન પ્રતિબિંબ ધરાવતા નથી,તેથી $h$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: $h$ નો વિસ્તાર $\{7, 9, 11, 13\}$ છે,જે સહપ્રદેશ જેટલો જ છે. આમ,સહપ્રદેશના દરેક ઘટક માટે પ્રદેશમાં પૂર્વ-પ્રતિબિંબ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. તેથી,$h$ વ્યાપ્ત છે.
આમ,$h$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી તે બાયજેક્શન છે. તેથી,વિધેય $h$ નું પ્રતિવિધેય અસ્તિત્વ ધરાવે છે.