વિધાન-1: સમીકરણ x log x = 2 - x એ 1 અને 2 ની | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $h(x) = f(x) - g(x) = x \log x - (2 - x) = x \log x + x - 2$.આપણે અંતરાલ $[1, 2]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેય $h(x)$ ની કિંમત શોધીએ:$h(1) = 1

Vedclass · Accepted Answer

વિધાન-$1$ સાચું છે; વિધાન-$2$ સાચું છે; વિધાન-$2$ એ વિધાન-$1$ માટેની સાચી સમજૂતી છે.

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $h(x) = f(x) - g(x) = x \log x - (2 - x) = x \log x + x - 2$.આપણે અંતરાલ $[1, 2]$ ના અંત્યબિંદુઓ પર વિધેય $h(x)$ ની કિંમત શોધીએ:$h(1) = 1 \cdot \log(1) + 1 - 2 = 0 + 1 - 2 = -1$.$h(2) = 2 \cdot \log(2) + 2 - 2 = 2 \log(2) = \log(4)$.અહીં $\log(4) > 0$ (કારણ કે $4 > 1$),તેથી $h(1)  0$ મળે છે.$h(x)$ એ $[1, 2]$ પર સતત વિધેય હોવાથી,મધ્યવર્તી મૂલ્ય પ્રમેય (Intermediate Value Theorem) મુજબ,ઓછામાં ઓછું એક $c \in (1, 2)$ એવું મળે કે જેથી $h(c) = 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $f(c) = g(c)$. આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.વિધાન-$2$ માટે,$f'(x) = \log x + x(1/x) = \log x + 1$. $x \in [1, 2]$ માટે,$f'(x) \geq 1 > 0$,તેથી $f(x)$ વધતું વિધેય છે. $g'(x) = -1  g(2)$ હોવાથી,આલેખ $[1, 2]$ માં છેદશે. આમ,વિધાન-$2$ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી આપે છે.

Similar Questions

જો $f(x) = \begin{cases} 1 + x^2, & \text{જ્યારે } 0 \le x \le 1 \\ 1 - x, & \text{જ્યારે } x > 1 \end{cases}$,હોય,તો

જો $f(x) = [x] - [\frac{x}{4}]$,$x \in R$,જ્યાં $[x]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે,તો

જો $f(x) = \begin{cases} [x] + [-x], & x \neq 2 \\ \lambda, & x = 2 \end{cases}$ એ $x = 2$ આગળ સતત હોય,તો $\lambda = $ (જ્યાં $[.]$ એ મહત્તમ પૂર્ણાંક વિધેય દર્શાવે છે).

જો $f(x) = \begin{cases} \frac{|x - a|}{x - a}, & x \neq a \\ 1, & x = a \end{cases}$,તો:

સાબિત કરો કે $f(x) = \sin(x^{2})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય એ સતત વિધેય છે.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module