कथन $1$: प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का प्रसरण $\frac{n^2 - 1}{3}$ है।
कथन $2$: प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग $n^2$ है और प्रथम $n$ विषम प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों का योग $\frac{n(4n^2 - 1)}{3}$ है।

  • A
    कथन $1$ सत्य है,कथन $2$ असत्य है।
  • B
    कथन $1$ सत्य है,कथन $2$ सत्य है; कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या नहीं है।
  • C
    कथन $1$ असत्य है,कथन $2$ सत्य है।
  • D
    कथन $1$ सत्य है,कथन $2$ सत्य है; कथन $2$,कथन $1$ की सही व्याख्या है।

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यदि $10$ प्राकृतिक संख्याओं $1, 1, 1, \dots, 1, k$ का प्रसरण $10$ से कम है,तो $k$ का अधिकतम संभावित मान ...... है।

मान लीजिए $X_{1}, X_{2}, \ldots, X_{18}$ अठारह प्रेक्षण इस प्रकार हैं कि $\sum_{i=1}^{18}(X_{i}-\alpha)=36$ और $\sum_{i=1}^{18}(X_{i}-\beta)^{2}=90$,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं। यदि इन प्रेक्षणों का मानक विचलन $1$ है,तो $|\alpha-\beta|$ का मान ...... है।

$2n$ अवलोकनों की एक श्रृंखला में,आधे अवलोकन $a$ के बराबर हैं और शेष आधे $-a$ के बराबर हैं। साथ ही,इन अवलोकनों में से प्रत्येक में एक स्थिरांक $b$ जोड़ने पर,नए सेट का माध्य और मानक विचलन क्रमशः $5$ और $20$ हो जाते हैं। तो $a^{2} + b^{2}$ का मान ....... के बराबर है।

निम्नलिखित आवृत्ति वितरण के लिए माध्य और प्रसरण ज्ञात कीजिए:
वर्ग $0-30$ $30-60$ $60-90$ $90-120$ $120-150$ $150-180$ $180-210$
$f_i$ $2$ $3$ $5$ $10$ $3$ $5$ $2$

Difficult
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$\alpha$,$\beta$,और $\gamma$ का प्रसरण (variance) $9$ है,तो $5\alpha$,$5\beta$,और $5\gamma$ का प्रसरण क्या होगा?

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