कथन -1: बिंदु A(3,1,6),समतल x-y+z=5 में बिंदु | vedclass

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Question

(D) कथन $-1$ की जाँच करने के लिए,हम समतल $x-y+z-5=0$ में बिंदु $B(1,3,4)$ का दर्पण प्रतिबिंब ज्ञात करते हैं।सूत्र $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} =

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कथन $-1$ सत्य है,कथन $-2$ सत्य है; कथन $-2$,कथन $-1$ का सही स्पष्टीकरण है।

Vedclass · Answer

(D) कथन $-1$ की जाँच करने के लिए,हम समतल $x-y+z-5=0$ में बिंदु $B(1,3,4)$ का दर्पण प्रतिबिंब ज्ञात करते हैं।सूत्र $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c} = -2 \frac{ax_1+by_1+cz_1+d}{a^2+b^2+c^2}$ का उपयोग करने पर:$\frac{x-1}{1} = \frac{y-3}{-1} = \frac{z-4}{1} = -2 \frac{1-3+4-5}{1^2+(-1)^2+1^2} = -2 \frac{-3}{3} = 2.$अतः,$x-1=2 \Rightarrow x=3$,$y-3=-2 \Rightarrow y=1$,$z-4=2 \Rightarrow z=6$.प्रतिबिंब $(3,1,6)$ प्राप्त होता है,जो बिंदु $A$ है। अतः,कथन $-1$ सत्य है।कथन $-2$ के लिए,$AB$ का मध्य-बिंदु $(\frac{3+1}{2}, \frac{1+3}{2}, \frac{6+4}{2}) = (2,2,5)$ है।यह जाँचने पर कि क्या यह बिंदु समतल पर स्थित है: $2-2+5 = 5$. चूँकि यह समीकरण को संतुष्ट करता है,समतल रेखाखंड $AB$ को समद्विभाजित करता है। अतः,कथन $-2$ सत्य है।दर्पण प्रतिबिंब की परिभाषा के अनुसार रेखाखंड $AB$ को समतल के लंबवत होना चाहिए और मध्य-बिंदु को समतल पर स्थित होना चाहिए। कथन $-2$ मध्य-बिंदु की शर्त को पूरा करता है,जो दर्पण प्रतिबिंब होने के लिए एक आवश्यक शर्त है। अतः,कथन $-2$,कथन $-1$ का सही स्पष्टीकरण है।

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