मान लीजिए y=y(x) अवकल समीकरण frac{dy}{dx}-y=2 | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}-y=2-e^{-x}$ है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-1$ और $Q=2-e^{-x}$ है।समाकलन

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(C) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx}-y=2-e^{-x}$ है।यह $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P=-1$ और $Q=2-e^{-x}$ है।समाकलन गुणक $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है।हल $y \cdot e^{-x} = \int (2-e^{-x})e^{-x} dx = \int (2e^{-x}-e^{-2x}) dx$ है।$y \cdot e^{-x} = -2e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x} + Ce^x$.चूंकि $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x)$ परिमित है,इसलिए $e^x$ का गुणांक शून्य होना चाहिए,अतः $C=0$.इस प्रकार,$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x}$ है।$x=0$ पर,$y(0) = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$ है।अवकलज $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-x}$ है।$x=0$ पर,ढाल $m = \frac{dy}{dx}|_{x=0} = -\frac{1}{2}$ है।$(0, -3/2)$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $y - (-3/2) = -\frac{1}{2}(x - 0)$ है,जो $y + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}x$ या $x + 2y = -3$ में सरल हो जाता है।$x$-अंतःखंड $a$ प्राप्त करने के लिए $y=0$ रखने पर,$a = -3$ मिलता है।$y$-अंतःखंड $b$ प्राप्त करने के लिए $x=0$ रखने पर,$2b = -3$ मिलता है,जिससे $b = -\frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।अंत में,$a - 4b = -3 - 4(-\frac{3}{2}) = -3 + 6 = 3$ है।

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