ધારો કે y=y(x) એ વિકલ સમીકરણ frac{dy}{dx}-y=2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=2-e^{-x}$ છે.આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-1$ અને $Q=2-e^{-x}$.સંકલ્યકારક અવયવ

Vedclass · Accepted Answer

$3$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx}-y=2-e^{-x}$ છે.આ $\frac{dy}{dx}+Py=Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P=-1$ અને $Q=2-e^{-x}$.સંકલ્યકારક અવયવ $I.F. = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ છે.ઉકેલ $y \cdot e^{-x} = \int (2-e^{-x})e^{-x} dx = \int (2e^{-x}-e^{-2x}) dx$ છે.$y \cdot e^{-x} = -2e^{-x} + \frac{1}{2}e^{-2x} + C$.$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x} + Ce^x$.કારણ કે $\lim_{x \rightarrow \infty} y(x)$ શાંત છે,તેથી $e^x$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $C=0$.આમ,$y(x) = -2 + \frac{1}{2}e^{-x}$.$x=0$ આગળ,$y(0) = -2 + \frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.વિકલન $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{2}e^{-x}$ છે.$x=0$ આગળ,ઢાળ $m = \frac{dy}{dx}|_{x=0} = -\frac{1}{2}$.$(0, -3/2)$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $y - (-3/2) = -\frac{1}{2}(x - 0)$ છે,જે $y + \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}x$ અથવા $x + 2y = -3$ માં પરિણમે છે.$x$-અંત:ખંડ $a$ મેળવવા માટે $y=0$ મૂકતા,$a = -3$.$y$-અંત:ખંડ $b$ મેળવવા માટે $x=0$ મૂકતા,$2b = -3$,જેથી $b = -\frac{3}{2}$.અંતે,$a - 4b = -3 - 4(-\frac{3}{2}) = -3 + 6 = 3$.

Similar Questions

$x \frac{dy}{dx} - y = x^4 - 3x$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 2y \cot x = 3x^2 \csc^2 x$ નો ઉકેલ શોધો.

જો $y=\sin x+A \cos x$ એ $\frac{dy}{dx}+f(x)y=\sec x$ નો વ્યાપક ઉકેલ હોય, તો વિકલ સમીકરણનો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module