मान लीजिए n एक प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए | vedclass

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Question

(C) माना $S_n = i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n$ $(i)$$i$ से गुणा करने पर,$iS_n = i^2 + 2i^3 + \ldots + (n-1)i^n + ni^{n+1}$ (ii)$(i)$ में से (ii) घटा

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$36$

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(C) माना $S_n = i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n$ $(i)$$i$ से गुणा करने पर,$iS_n = i^2 + 2i^3 + \ldots + (n-1)i^n + ni^{n+1}$ (ii)$(i)$ में से (ii) घटाने पर:$S_n(1 - i) = i + i^2 + i^3 + \ldots + i^n - ni^{n+1}$$S_n(1 - i) = \frac{i(1 - i^n)}{1 - i} - ni^{n+1}$चूंकि $(1 - i)^2 = -2i$,इसलिए:$S_n = \frac{i(1 - i^n)}{-2i} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2} = \frac{i^n - 1}{2} - \frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}$बड़े $n$ के लिए,$n$ वाला पद प्रभावी है। $|S_n| = 18\sqrt{2}$ दिया गया है:$|S_n| \approx |\frac{ni^{n+1}(1 + i)}{2}| = \frac{n}{\sqrt{2}}$अतः $\frac{n}{\sqrt{2}} = 18\sqrt{2}$,जिसका अर्थ है $n = 36$।

मान लीजिए $n$ एक प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए $|i + 2i^2 + 3i^3 + \ldots + ni^n| = 18\sqrt{2}$,जहाँ $i = \sqrt{-1}$ है। तो,$n$ का मान ज्ञात कीजिए।

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