ધારો કે M = int_{0}^{pi / 2} frac{cos x}{x+2} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) આપેલ છે, $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$. નિત્યસમ $\sin x \cos x =

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{2}{\pi+4}$

Vedclass · Answer

(D) આપેલ છે, $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$. નિત્યસમ $\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x$ નો ઉપયોગ કરતા, $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin 2x}{2(x+1)^{2}} dx$. ધારો કે $2x = t$, તો $dx = \frac{dt}{2}$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\pi/4, t=\pi/2$. $N = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(t/2 + 1)^{2}} \cdot \frac{dt}{2} = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{2(\frac{t+2}{2})^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin t}{(t+2)^{2}} dt = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$. હવે, $M - N = \int_{0}^{\pi / 2} \left( \frac{\cos x}{x+2} - \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} \right) dx$. $\int \frac{\cos x}{x+2} dx$ પર ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા, $u = \frac{1}{x+2}$ અને $dv = \cos x dx$ લેતા, $du = -\frac{1}{(x+2)^{2}} dx$ અને $v = \sin x$ મળે. $M = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} - \int_{0}^{\pi / 2} \sin x \left( -\frac{1}{(x+2)^{2}} \right) dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} + \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx$. આમ, $M - \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\sin x}{(x+2)^{2}} dx = \left[ \frac{\sin x}{x+2} \right]_{0}^{\pi / 2} = \frac{\sin(\pi/2)}{\pi/2 + 2} - \frac{\sin(0)}{0+2} = \frac{1}{\frac{\pi+4}{2}} = \frac{2}{\pi+4}$.

ધારો કે $M = \int_{0}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{x+2} dx$ અને $N = \int_{0}^{\pi / 4} \frac{\sin x \cos x}{(x+1)^{2}} dx$ છે. તો, $(M - N)$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{\cos x}{1+e^{x}} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \frac{e^x(x \sin x)}{e^{2x}-1} dx =$

જો $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$ જ્યાં $x > 0$ હોય,તો સમીકરણ $f(x) + f(1/x) = 0$ નું સમાધાન કરતી $x$ ની કિંમત(ઓ) કઈ છે?

$\int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{8-x}+\sqrt{x}} \, dx =$

$\int_0^{2a} \frac{f(x)}{f(x) + f(2a - x)} \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module