ધારો કે રેખા $\frac{x-2}{\alpha}=\frac{y-2}{-5}=\frac{z+2}{2}$ એ સમતલ $x+3y-2z+\beta=0$ પર આવેલી છે. તો $(\alpha+\beta)$ ની કિંમત ... છે.

સમતલો $\vec{r} \cdot(\hat{i}+3 \hat{j})-6=0$ અને $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-\hat{j}-4 \hat{k})=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતા અને ઉગમબિંદુથી એક એકમ લંબ અંતરે આવેલા સમતલનું સમીકરણ શોધો.

$1, -1, 2$ દિશા ગુણોત્તર ધરાવતી એક રેખા, રેખાઓ $\frac{x}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+1}{3}$ અને $\frac{x+1}{-1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z}{4}$ ને અનુક્રમે $P$ અને $Q$ બિંદુઓ પર છેદે છે। જો રેખાખંડ $PQ$ ની લંબાઈ $\alpha$ હોય, તો $225\alpha^2$ ની કિંમત શોધો:

બિંદુ $(0, 7, -7)$ અને રેખા $\frac{x + 1}{-3} = \frac{y - 3}{2} = \frac{z + 2}{1}$ ને સમાવતા સમતલનું સમીકરણ મેળવો.

બિંદુ $(-1, -5, -10)$ નું રેખા $\frac{x - 2}{3} = \frac{y + 1}{4} = \frac{z - 2}{12}$ અને સમતલ $x - y + z = 5$ ના છેદબિંદુથી અંતર શોધો.

$a, b \in \mathbb{Z}$ અને $|a - b| \leq 10$ માટે,સમતલ $P: ax + y - z = b$ અને રેખા $l: x - 1 = \frac{-y}{1} = z + 1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\cos^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ છે. જો બિંદુ $(6, -6, 4)$ નું સમતલ $P$ થી અંતર $3\sqrt{6}$ હોય,તો $a^4 + b^2$ ની કિંમત શોધો.