ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી વર્તુળ $x^2+y^2-6x-2py+17=0$ પર બે લંબ સ્પર્શકો દોરી શકાય છે,કોઈ વાસ્તવિક $p$ માટે. તો,$|p|$ ની કિંમત કેટલી થાય?

વિધાન $1$: $\sqrt{10}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું અને $2x + y = 5$ રેખા પર વ્યાસ ધરાવતું એકમાત્ર વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ છે.
વિધાન $2$: $2x + y = 5$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 - 6x + 2y = 0$ નો અભિલંબ છે.

$2$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ $C_1$ એ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ બંનેને સ્પર્શે છે. બીજું વર્તુળ $C_2$ જેની ત્રિજ્યા $2$ કરતા મોટી છે,તે વર્તુળ $C_1$ અને બંને અક્ષોને સ્પર્શે છે. તો વર્તુળ $C_2$ ની ત્રિજ્યા શોધો.

$1$ એકમ ત્રિજ્યા ધરાવતા અર્ધવર્તુળને વ્યાસ $AB$ પર રચવામાં આવ્યું છે અને ધારો કે $O$ તેનું કેન્દ્ર છે. ધારો કે $C$ એ $AO$ પરનું એવું બિંદુ છે કે જેથી $AC:CO = 2:1$ થાય. $AO$ ને લંબ $CD$ દોરો જ્યાં $D$ અર્ધવર્તુળ પર છે. $AD$ ને લંબ $OE$ દોરો જ્યાં $E$ એ $AD$ પર છે. ધારો કે $OE$ અને $CD$ એકબીજાને $H$ માં છેદે છે. તો,$DH$ ની કિંમત શોધો.

વર્તુળોના સમીકરણો, જે બંને અક્ષો અને રેખા $4x+3y=12$ ને સ્પર્શે છે અને જેમના કેન્દ્રો પ્રથમ ચરણમાં છે, તે છે

સીધી રેખા $2x - 3y = 1$ એ વર્તુળાકાર પ્રદેશ $x^2 + y^2 \leq 6$ ને બે ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. જો $S = \left\{ \left(2, \frac{3}{4}\right), \left(\frac{5}{2}, \frac{3}{4}\right), \left(\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}\right), \left(\frac{1}{8}, \frac{1}{4}\right) \right\}$ હોય,તો $S$ માં રહેલા બિંદુઓની સંખ્યા જે નાના ભાગમાં આવેલી છે તે શોધો.