दो समतलों $r \cdot(2 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})=5$ और $r \cdot(3 \hat{i}+3 \hat{j}-5 \hat{k})=3$ की प्रतिच्छेदन रेखा और रेखा $r=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}+t(5 \hat{i}+5 \hat{j}-7 \hat{k})$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $L_1$ और $L_2$ निम्नलिखित सीधी रेखाएँ हैं:
$L_1: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{3}$ और $L_2: \frac{x-1}{-3} = \frac{y}{-1} = \frac{z-1}{1}$.
मान लीजिए सीधी रेखा $L: \frac{x-\alpha}{l} = \frac{y-1}{m} = \frac{z-\gamma}{-2}$ उस समतल में स्थित है जिसमें $L_1$ और $L_2$ हैं,और यह $L_1$ और $L_2$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है। यदि रेखा $L$,$L_1$ और $L_2$ के बीच के न्यून कोण को समद्विभाजित करती है,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन $TRUE$ है?
$(A)$ $\alpha-\gamma=3$
$(B)$ $l+m=2$
$(C)$ $\alpha-\gamma=1$
$(D)$ $l+m=0$

यदि रेखाएँ $x = ay - 1 = z - 2$ और $x = 3y - 2 = bz - 2$ $(ab \neq 0)$ समतलीय हैं,तो

मान लीजिए कि बिंदु $P(1, 2, 3)$ का समतल $2x - y + z = 9$ में प्रतिबिंब $Q$ है। यदि बिंदु $R$ के निर्देशांक $(6, 10, 7)$ हैं,तो त्रिभुज $PQR$ के क्षेत्रफल का वर्ग $.....$ है।

मान लीजिए कि बिंदुओं $P(2, -1, 2)$ और $Q(5, 3, 4)$ से गुजरने वाली रेखा समतल $x - y + z = 4$ को बिंदु $R$ पर मिलती है। तो बिंदु $R$ की समतल $x + 2y + 3z + 2 = 0$ से रेखा $\frac{x - 7}{2} = \frac{y + 3}{2} = \frac{z - 2}{1}$ के समानांतर मापी गई दूरी किसके बराबर है?

एक रेखा जिसके दिक्कोसाइन समान हैं,बिंदु $P(2, -1, 2)$ से गुजरती है और निर्देशांक अक्षों के साथ समान कोण बनाती है। यह रेखा समतल $2x + y + z = 9$ को बिंदु $Q$ पर मिलती है। रेखाखंड $PQ$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।