રેખાઓ $2x = 3y = -z$ અને $6x = -y = -4z$ વચ્ચેનો ખૂણો કેટલો છે ($^{\circ}$ માં)?

વિધાન-$1$: બે સમાંતર રેખાઓ $\frac{x}{2} = \frac{y}{-1} = \frac{z}{2}$ અને $\frac{x-1}{4} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-1}{4}$ વચ્ચેનું અંતર $\sqrt{2}$ છે.
વિધાન-$2$: બે સમાંતર રેખાઓ વચ્ચેનું અંતર એ એક રેખા પરના કોઈપણ બિંદુથી બીજી રેખાનું લંબ અંતર બરાબર થાય છે.

ધારો કે $A(\alpha, 4, 7)$ અને $B(3, \beta, 8)$ અવકાશમાં બે બિંદુઓ છે. જો $YZ$ સમતલ અને $ZX$ સમતલ અનુક્રમે બિંદુઓ $A$ અને $B$ ને જોડતા રેખાખંડનું $2:3$ અને $4:5$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે, તો બિંદુ $C$ જે $\overline{AB}$ નું $\alpha: \beta$ ના ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે તે શોધો.

બિંદુ $(-1, 3, -2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખાઓ $\frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$ અને $\frac{x+2}{-3} = \frac{y-1}{2} = \frac{z+1}{5}$ ને લંબ હોય તેવી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

જો રેખાઓ $\frac{2x-4}{\lambda} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-3}{1}$ અને $\frac{x-1}{1} = \frac{3y-1}{\lambda} = \frac{z-2}{1}$ એકબીજાને લંબ હોય,તો $\lambda=$

$ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેના શિરોબિંદુઓ $A(2, 3, 5)$,$B(-1, 3, 2)$ અને $C(\lambda, 5, \mu)$ છે. જો $A$ માંથી પસાર થતી મધ્યગા યામ અક્ષો સાથે સમાન ખૂણે નમેલી હોય,તો $(\lambda^3 + \mu^3 + 5)$ ની કિંમત શોધો.