$3 \text{ मीटर}$ त्रिज्या वाले वृत्त के केंद्र पर $1 \text{ मीटर}$ लंबाई के चाप द्वारा अंतरित कोण किसके बराबर है?

मान लीजिए $G$ त्रिज्या $R>0$ वाला एक वृत्त है। मान लीजिए $G_1, G_2, \ldots, G_n$ समान त्रिज्या $r>0$ वाले $n$ वृत्त हैं। मान लीजिए कि $n$ वृत्तों $G_1, G_2, \ldots, G_n$ में से प्रत्येक वृत्त $G$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। साथ ही,$i=1,2, \ldots, n-1$ के लिए,वृत्त $G_i$ वृत्त $G_{i+1}$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है,और $G_n$ वृत्त $G_1$ को बाह्य रूप से स्पर्श करता है। तो,निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन $TRUE$ है/हैं?
$(A)$ यदि $n=4$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(B)$ यदि $n=5$ है,तो $r < R$
$(C)$ यदि $n=8$ है,तो $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(D)$ यदि $n=12$ है,तो $\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$

मान लीजिए कि एक दिए गए वक्र के सभी बिंदुओं पर अभिलंब एक निश्चित बिंदु $(a, b)$ से होकर गुजरते हैं। यदि वक्र $(3, -3)$ और $(4, -2\sqrt{2})$ से होकर गुजरता है,और यह दिया गया है कि $a - 2\sqrt{2}b = 3$,तो $(a^{2} + b^{2} + ab)$ का मान ..... होगा।

यदि $5x - 12y + 10 = 0$ और $12y - 5x + 16 = 0$ एक वृत्त की दो स्पर्श रेखाएँ हैं,तो वृत्त की त्रिज्या क्या है?

एक रेखा $l$,वृत्त $x^2+y^2=61$ को बिंदुओं $A$ और $B$ पर मिलती है। यदि $P(-5, 6)$ एक ऐसा बिंदु है कि $PA=PB=10$ है,तो रेखा $l$ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

दो वृत्त $x^2+y^2+8x-6y-24=0$ और $x^2+y^2-4x+10y+20=0$ दिए गए हैं। तो वे