वृत्त $x^2+y^2=169$ के उस भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) जो रेखा $5x-y=13$ के नीचे है,$\frac{\pi \alpha}{2 \beta}-\frac{65}{2}+\frac{\alpha}{\beta} \sin ^{-1}\left(\frac{12}{13}\right)$ है,जहाँ $\alpha, \beta$ सह-अभाज्य संख्याएँ हैं। तो $\alpha+\beta$ का मान . . . . . . है।

दिया गया है: $f(x) = \begin{cases} x, & 0 \leq x < \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2}, & x = \frac{1}{2} \\ 1-x, & \frac{1}{2} < x \leq 1 \end{cases}$ और $g(x) = (x-\frac{1}{2})^2, x \in R$. तो रेखाओं $2x=1$ और $2x=\sqrt{3}$ के बीच वक्रों $y=f(x)$ और $y=g(x)$ द्वारा घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) ज्ञात कीजिए।

वक्र $y = x^2 + 1$ और मूल बिंदु से खींची गई इसकी स्पर्श रेखाओं द्वारा घिरा क्षेत्रफल है

क्षेत्र $S = \{(x, y) : y^{2} \leq 8x, y \geq \sqrt{2}x, x \geq 1\}$ का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

परवलय $y^2 = 4x$ और रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्रफल (वर्ग इकाई में) है

मान लीजिए $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ एक फलन है जिसे $f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+\frac{5}{9} x+\frac{17}{36}$ द्वारा परिभाषित किया गया है। वर्गाकार क्षेत्र $S=[0,1] \times[0,1]$ पर विचार करें। मान लीजिए $G=\{(x, y) \in S: y>f(x)\}$ को हरा क्षेत्र और $R=\{(x, y) \in S: y(A)$ एक ऐसा $h \in\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$ मौजूद है कि रेखा $L_{h}$ के ऊपर हरे क्षेत्र का क्षेत्रफल रेखा $L_{h}$ के नीचे हरे क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है।
$(B)$ एक ऐसा $h \in\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$ मौजूद है कि रेखा $L_{h}$ के ऊपर लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल रेखा $L_{h}$ के नीचे लाल क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है।
$(C)$ एक ऐसा $h \in\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$ मौजूद है कि रेखा $L_{h}$ के ऊपर हरे क्षेत्र का क्षेत्रफल रेखा $L_{h}$ के नीचे लाल क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है।
$(D)$ एक ऐसा $h \in\left[\frac{1}{4}, \frac{2}{3}\right]$ मौजूद है कि रेखा $L_{h}$ के ऊपर लाल क्षेत्र का क्षेत्रफल रेखा $L_{h}$ के नीचे हरे क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है।