X-अक्ष के ऊपर स्थित और वक्रों y^2=2ax-x^2 तथा | vedclass

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Question

(C) दिए गए वक्र $x^2+y^2-2ax=0$ (केंद्र $(a, 0)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त) और $y^2=ax$ (परवलय) हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $y^2=ax$ को

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$a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$

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(C) दिए गए वक्र $x^2+y^2-2ax=0$ (केंद्र $(a, 0)$ और त्रिज्या $a$ वाला वृत्त) और $y^2=ax$ (परवलय) हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, $y^2=ax$ को $x^2+y^2-2ax=0$ में प्रतिस्थापित करें:$x^2+ax-2ax=0 \implies x^2-ax=0 \implies x(x-a)=0$.अतः, वक्र $x=0$ और $x=a$ पर प्रतिच्छेद करते हैं।$X$-अक्ष के ऊपर के भाग के लिए, क्षेत्रफल $x=0$ से $x=a$ तक ऊपरी वक्र (वृत्त) और निचले वक्र (परवलय) के बीच के अंतर का समाकलन है:क्षेत्रफल $= \int_0^a \left(\sqrt{2ax-x^2} - \sqrt{ax}\right) dx$$= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx$सूत्र $\int \sqrt{r^2-u^2} du = \frac{u}{2}\sqrt{r^2-u^2} + \frac{r^2}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{r})$ का उपयोग करते हुए:$= \left[ \frac{x-a}{2}\sqrt{2ax-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x-a}{a}\right) - \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^a$$= \left( 0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(0) - \frac{2}{3}a^2 \right) - \left( \frac{-a}{2}\sqrt{0} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(-1) - 0 \right)$$= (0 + 0 - \frac{2}{3}a^2) - (0 + \frac{a^2}{2}(-\frac{\pi}{2}) - 0)$$= -\frac{2}{3}a^2 + \frac{\pi a^2}{4} = a^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}\right)$ वर्ग इकाई।

$X$-अक्ष के ऊपर स्थित और वक्रों $y^2=2ax-x^2$ तथा $y^2=ax$ के बीच घिरे भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

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