X-અક્ષની ઉપર આવેલો અને y^2=2ax-x^2 તથા y^2=ax | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ વક્રો $x^2+y^2-2ax=0$ (કેન્દ્ર $(a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a$ વાળું વર્તુળ) અને $y^2=ax$ (પરવલય) છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $y^2=ax$ ને $x^2+y^2-2ax

Vedclass · Accepted Answer

$a^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{3}\right)$

Vedclass · Answer

(C) આપેલ વક્રો $x^2+y^2-2ax=0$ (કેન્દ્ર $(a, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a$ વાળું વર્તુળ) અને $y^2=ax$ (પરવલય) છે.છેદબિંદુઓ શોધવા માટે, $y^2=ax$ ને $x^2+y^2-2ax=0$ માં મૂકતા:$x^2+ax-2ax=0 \implies x^2-ax=0 \implies x(x-a)=0$.તેથી, વક્રો $x=0$ અને $x=a$ પર છેદે છે.$X$-અક્ષની ઉપરના ભાગ માટે, ક્ષેત્રફળ એ $x=0$ થી $x=a$ સુધી ઉપરના વક્ર (વર્તુળ) અને નીચેના વક્ર (પરવલય) વચ્ચેના તફાવતનું સંકલન છે:ક્ષેત્રફળ $= \int_0^a \left(\sqrt{2ax-x^2} - \sqrt{ax}\right) dx$$= \int_0^a \sqrt{a^2-(x-a)^2} dx - \sqrt{a} \int_0^a x^{1/2} dx$સૂત્ર $\int \sqrt{r^2-u^2} du = \frac{u}{2}\sqrt{r^2-u^2} + \frac{r^2}{2}\sin^{-1}(\frac{u}{r})$ નો ઉપયોગ કરતા:$= \left[ \frac{x-a}{2}\sqrt{2ax-x^2} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x-a}{a}\right) - \sqrt{a} \cdot \frac{2}{3}x^{3/2} \right]_0^a$$= \left( 0 + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(0) - \frac{2}{3}a^2 \right) - \left( \frac{-a}{2}\sqrt{0} + \frac{a^2}{2}\sin^{-1}(-1) - 0 \right)$$= (0 + 0 - \frac{2}{3}a^2) - (0 + \frac{a^2}{2}(-\frac{\pi}{2}) - 0)$$= -\frac{2}{3}a^2 + \frac{\pi a^2}{4} = a^2\left(\frac{\pi}{4} - \frac{2}{3}\right)$ ચોરસ એકમ.

$X$-અક્ષની ઉપર આવેલો અને $y^2=2ax-x^2$ તથા $y^2=ax$ વક્રો વચ્ચે ઘેરાયેલો ભાગનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું થાય?

Similar Questions

વક્રો $y=\sin x$ અને $y=\cos x$ વચ્ચે $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{5 \pi}{4}$ માટે ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

$y=x^2-4x+4$ અને $y^2=16-8x$ વક્રો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

વક્રો $y=x$ અને $y=x^{2}$ વચ્ચેનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

બે પરવલયો $y=x^{2}$ અને $x=y^{2}$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module