क्षेत्र A={(x, y) : |x|+|y| leq 1, 2y^{2} geq | vedclass

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Question

(C) यह क्षेत्र $|x|+|y| \leq 1$ और $2y^{2} \geq |x|$ द्वारा परिभाषित है।दोनों अक्षों के सापेक्ष समरूपता के कारण,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गण

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$\frac{7}{6}$

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(C) यह क्षेत्र $|x|+|y| \leq 1$ और $2y^{2} \geq |x|$ द्वारा परिभाषित है।दोनों अक्षों के सापेक्ष समरूपता के कारण,हम प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल की गणना करेंगे और उसे $4$ से गुणा करेंगे।प्रथम चतुर्थांश $(x \geq 0, y \geq 0)$ में,क्षेत्र रेखा $x+y=1$ और वक्र $2y^{2}=x$ द्वारा घिरा हुआ है।प्रतिच्छेदन बिंदु $2y^{2} = 1-y$ है,जो $2y^{2}+y-1=0$ देता है।$(2y-1)(y+1)=0$ को हल करने पर,हमें $y=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है (चूंकि $y \geq 0$)।$y=\frac{1}{2}$ पर,$x=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल रेखा $x+y=1$ के नीचे का क्षेत्रफल और वक्र $x=2y^{2}$ के नीचे के क्षेत्रफल का अंतर है,जहाँ $y=0$ से $y=\frac{1}{2}$ है।क्षेत्रफल $= \int_{0}^{1/2} (1-y) dy - \int_{0}^{1/2} 2y^{2} dy = [y - \frac{y^{2}}{2}]_{0}^{1/2} - [\frac{2y^{3}}{3}]_{0}^{1/2} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{8}) - (\frac{2}{3} 	imes \frac{1}{8}) = \frac{3}{8} - \frac{1}{12} = \frac{9-2}{24} = \frac{7}{24}$.कुल क्षेत्रफल $= 4 	imes \frac{7}{24} = \frac{7}{6}$ वर्ग इकाई।

क्षेत्र $A=\{(x, y) : |x|+|y| \leq 1, 2y^{2} \geq |x|\}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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