{(x,y): y^2 le 2x text{ और } y ge 4x - 1} द्व | vedclass

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Question

(A) दिया गया क्षेत्र परवलय $y^2 = 2x$ और रेखा $y = 4x - 1$ द्वारा परिभाषित है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y+1}{4}$ को $y^2 = 2x$ मे

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$\frac{9}{32}$

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(A) दिया गया क्षेत्र परवलय $y^2 = 2x$ और रेखा $y = 4x - 1$ द्वारा परिभाषित है।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$x = \frac{y+1}{4}$ को $y^2 = 2x$ में प्रतिस्थापित करें:$y^2 = 2\left(\frac{y+1}{4}\right) \Rightarrow y^2 = \frac{y+1}{2} \Rightarrow 2y^2 - y - 1 = 0$.द्विघात समीकरण को हल करने पर: $(2y+1)(y-1) = 0$,अतः $y = 1$ और $y = -\frac{1}{2}$.$y = 1$ के लिए,$x = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}$. $y = -\frac{1}{2}$ के लिए,$x = \frac{-1/2+1}{4} = \frac{1}{8}$.प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{1}{2}, 1)$ और $(\frac{1}{8}, -\frac{1}{2})$ हैं।क्षेत्रफल $y$ के सापेक्ष (दायां वक्र - बायां वक्र) के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:क्षेत्रफल $= \int_{-1/2}^{1} \left( \frac{y+1}{4} - \frac{y^2}{2} \right) dy$$= \left[ \frac{y^2}{8} + \frac{y}{4} - \frac{y^3}{6} \right]_{-1/2}^{1}$$= \left( \frac{1}{8} + \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) - \left( \frac{1/4}{8} - \frac{1/2}{4} - \frac{-1/8}{6} \right)$$= \left( \frac{3+6-4}{24} \right) - \left( \frac{1}{32} - \frac{1}{8} + \frac{1}{48} \right)$$= \frac{5}{24} - \left( \frac{3-12+2}{96} \right) = \frac{5}{24} - \left( -\frac{7}{96} \right) = \frac{20+7}{96} = \frac{27}{96} = \frac{9}{32}$ वर्ग इकाई।

$\{(x,y): y^2 \le 2x \text{ और } y \ge 4x - 1\}$ द्वारा वर्णित क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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