प्रथम चतुर्थांश में स्थित और X-अक्ष,रेखा x - | vedclass

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Question

(A) दिए गए समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $x^2 + y^2 = 4$ हैं।इन्हें हल करने पर,हमें प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ प्राप्त होता है: $

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$\frac{\pi}{3}$

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(A) दिए गए समीकरण $y = \frac{1}{\sqrt{3}}x$ और $x^2 + y^2 = 4$ हैं।इन्हें हल करने पर,हमें प्रथम चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $A$ प्राप्त होता है: $x^2 + (\frac{x}{\sqrt{3}})^2 = 4 \implies x^2 + \frac{x^2}{3} = 4 \implies \frac{4x^2}{3} = 4 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3}$.अतः $y = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 1$. इसलिए,$A = (\sqrt{3}, 1)$.अभीष्ट क्षेत्रफल त्रिभुज $OAB$ (जहाँ $B$ बिंदु $(\sqrt{3}, 0)$ है) और $x = \sqrt{3}$ से $x = 2$ तक वृत्त के नीचे के क्षेत्र का योग है।त्रिभुज $OAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} 	imes \sqrt{3} 	imes 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.वृत्त के नीचे का क्षेत्रफल $= \int_{\sqrt{3}}^{2} \sqrt{4 - x^2} dx = [\frac{x}{2}\sqrt{4 - x^2} + \frac{4}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{2})]_{\sqrt{3}}^{2}$.$= [0 + 2 \sin^{-1}(1)] - [\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{4 - 3} + 2 \sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})]$.$= [2 	imes \frac{\pi}{2}] - [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 	imes \frac{\pi}{3}] = \pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$.कुल क्षेत्रफल $= \frac{\sqrt{3}}{2} + (\frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3} 	ext{ वर्ग इकाई}$.

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