वक्रों x^2 + y^2 = 4 और y^2 = 3x के बीच घिरे | vedclass

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Question

(D) दिए गए वक्र $x^2 + y^2 = 4$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $2$ वाला वृत्त) और $y^2 = 3x$ (परवलय) हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 3x$ क

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$\frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{4\pi}{3}$

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(D) दिए गए वक्र $x^2 + y^2 = 4$ (केंद्र $(0,0)$ और त्रिज्या $2$ वाला वृत्त) और $y^2 = 3x$ (परवलय) हैं।प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y^2 = 3x$ को $x^2 + y^2 = 4$ में प्रतिस्थापित करें:$x^2 + 3x - 4 = 0$$(x+4)(x-1) = 0$चूंकि परवलय के लिए $x \ge 0$ है,इसलिए हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।$x = 1$ पर,$y^2 = 3(1) = 3$,अतः $y = \pm\sqrt{3}$।छोटे भाग का क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।क्षेत्रफल $= 2 	imes \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{3x} \, dx + \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^2} \, dx ight]$$= 2 	imes \left[ \sqrt{3} \left( \frac{x^{3/2}}{3/2} ight)_0^1 + \left( \frac{x}{2}\sqrt{4-x^2} + \frac{4}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{2}ight) ight)_1^2 ight]$$= 2 	imes \left[ \sqrt{3} \left( \frac{2}{3} ight) + \left( (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(1/2)) ight) ight]$$= 2 	imes \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3} + \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{\pi}{6} ight) ight]$$= 2 	imes \left[ \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi - \frac{\pi}{3} ight] = 2 	imes \left[ \frac{4-3}{2\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3} ight]$$= 2 	imes \left[ \frac{1}{2\sqrt{3}} + \frac{2\pi}{3} ight] = \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{4\pi}{3}$

वक्रों $x^2 + y^2 = 4$ और $y^2 = 3x$ के बीच घिरे छोटे भाग का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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