परवलय {y^2} = 4ax और सरल रेखा y = 2ax द्वारा | vedclass

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Question

(C) परवलय ${y^2} = 4ax$ और रेखा $y = 2ax$ के प्रतिच्छेदन बिंदु इन समीकरणों को एक साथ हल करके प्राप्त किए जाते हैं।$y = 2ax$ को ${y^2} = 4ax$ में प्रति

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$\frac{1}{{3a}} 	ext{ वर्ग इकाई}$

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(C) परवलय ${y^2} = 4ax$ और रेखा $y = 2ax$ के प्रतिच्छेदन बिंदु इन समीकरणों को एक साथ हल करके प्राप्त किए जाते हैं।$y = 2ax$ को ${y^2} = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:${(2ax)^2} = 4ax$$4{a^2}{x^2} = 4ax$$4ax(ax - 1) = 0$इससे $x = 0$ या $x = \frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।$x = 0$ के लिए,$y = 0$। $x = \frac{1}{a}$ के लिए,$y = 2a(\frac{1}{a}) = 2$।प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 0)$ और $(\frac{1}{a}, 2)$ हैं।घिरा हुआ क्षेत्रफल $x = 0$ से $x = \frac{1}{a}$ तक ऊपरी वक्र में से निचले वक्र को घटाकर समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है:$	ext{क्षेत्रफल} = \int_0^{1/a} (\sqrt{4ax} - 2ax) dx$$= \int_0^{1/a} (2\sqrt{a}\sqrt{x} - 2ax) dx$$= 2\sqrt{a} [\frac{x^{3/2}}{3/2}]_0^{1/a} - 2a [\frac{x^2}{2}]_0^{1/a}$$= 2\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} (\frac{1}{a})^{3/2} - a (\frac{1}{a})^2$$= \frac{4\sqrt{a}}{3} \cdot \frac{1}{a\sqrt{a}} - \frac{1}{a}$$= \frac{4}{3a} - \frac{1}{a} = \frac{4-3}{3a} = \frac{1}{3a} 	ext{ वर्ग इकाई}$।अतः,सही विकल्प $(C)$ है।

परवलय ${y^2} = 4ax$ और सरल रेखा $y = 2ax$ द्वारा घिरा हुआ क्षेत्रफल है

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