उस बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,जिसके शीर् | vedclass

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Question

(C) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.दिया गया समीकरण $\bar{z} = i z^{2}$ है।$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x - iy = i(x + iy)^{2}

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

Vedclass · Answer

(C) माना $z = x + iy$,जहाँ $x, y \in \mathbb{R}$.दिया गया समीकरण $\bar{z} = i z^{2}$ है।$z = x + iy$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x - iy = i(x + iy)^{2}$ प्राप्त होता है।$x - iy = i(x^{2} - y^{2} + 2xyi) = i(x^{2} - y^{2}) - 2xy$.वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर:$x = -2xy$ $\Rightarrow x(1 + 2y) = 0$ $\Rightarrow x = 0$ या $y = -\frac{1}{2}$.$-y = x^{2} - y^{2}$.स्थिति $1$: यदि $x = 0$,तो $-y = -y^{2}$ $\Rightarrow y^{2} - y = 0$ $\Rightarrow y(y - 1) = 0$. अतः $y = 0$ या $y = 1$.मूल $z = 0$ और $z = i$ हैं। चूँकि प्रश्न में अवास्तविक मूल पूछे गए हैं,हम $z = i$ लेते हैं।स्थिति $2$: यदि $y = -\frac{1}{2}$,तो $-(-\frac{1}{2}) = x^{2} - (-\frac{1}{2})^{2}$ $\Rightarrow \frac{1}{2} = x^{2} - \frac{1}{4}$ $\Rightarrow x^{2} = \frac{3}{4}$ $\Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.मूल $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ और $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ हैं।बहुभुज के शीर्ष $(0, 1)$,$(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$,और $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2})$ हैं।यह एक त्रिभुज बनाता है जिसका आधार $b = \sqrt{3}$ और ऊँचाई $h = \frac{3}{2}$ है।क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} 	imes 	ext{आधार} 	imes 	ext{ऊँचाई} = \frac{1}{2} 	imes \sqrt{3} 	imes \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

उस बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए,जिसके शीर्ष समीकरण $\bar{z} = i z^{2}$ के अवास्तविक मूल हैं।

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