वक्रों y=|x|,y=[x] और कोटियों x=-1,x=0,x=1 के | vedclass

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Question

(A) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-1}^{1} | |x| - [x] | dx$ द्वारा दिया जाता है। हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं: $\int_{-1}^{0} | |x| - [x]

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$2$

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(A) क्षेत्रफल $A$ समाकलन $\int_{-1}^{1} | |x| - [x] | dx$ द्वारा दिया जाता है। हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं: $\int_{-1}^{0} | |x| - [x] | dx + \int_{0}^{1} | |x| - [x] | dx$. $x \in [-1, 0)$ के लिए,$|x| = -x$ और $[x] = -1$ है। इसलिए,$| |x| - [x] | = | -x - (-1) | = | 1 - x | = 1 - x$. $x \in [0, 1)$ के लिए,$|x| = x$ और $[x] = 0$ है। इसलिए,$| |x| - [x] | = | x - 0 | = x$. $x=1$ पर,$|x|=1$ और $[x]=1$ है,इसलिए अंतर $0$ है। अतः,$A = \int_{-1}^{0} (1 - x) dx + \int_{0}^{1} x dx$. $A = [x - \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} + [\frac{x^2}{2}]_{0}^{1}$. $A = (0 - (-1 - \frac{1}{2})) + (\frac{1}{2} - 0) = (0 - (-\frac{3}{2})) + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = 2$ वर्ग इकाइयाँ।

वक्रों $y=|x|$,$y=[x]$ और कोटियों $x=-1$,$x=0$,$x=1$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) क्या है?

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क्षेत्र $\{(x,y):y^2 \geq 2x, x^2+y^2 \leq 4x, x \geq 0, y \leq 0 \}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

यदि क्षेत्र ${(x, y) : -2x + 1 \le y \le 4 - x^2, x \ge 0, y \ge 0}$ का क्षेत्रफल $\frac{\alpha}{\beta}$ है, जहाँ $\alpha, \beta \in N$ और $\gcd(\alpha, \beta) = 1$, तो $(\alpha + \beta)$ का मान ज्ञात कीजिए:

परवलयों $y^2 = 4ax$ और $x^2 = 8ay$ के बीच का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

वक्रों $y=\sin x$ और $y=\cos x$ के बीच $\frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{5 \pi}{4}$ के लिए परिबद्ध क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

दो परवलयों $y=x^{2}$ और $y^{2}=x$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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