क्षेत्र {(x,y):y^2 geq 2x, x^2+y^2 leq 4x, x | vedclass

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Question

(D) यह क्षेत्र $y^2 \geq 2x$ (परवलय के बाहर) और $x^2+y^2 \leq 4x$ (वृत्त के अंदर) द्वारा चतुर्थ चतुर्थांश $(x \geq 0, y \leq 0)$ में परिभाषित है।वृत्त

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$\pi - \frac{8}{3}$

Vedclass · Answer

(D) यह क्षेत्र $y^2 \geq 2x$ (परवलय के बाहर) और $x^2+y^2 \leq 4x$ (वृत्त के अंदर) द्वारा चतुर्थ चतुर्थांश $(x \geq 0, y \leq 0)$ में परिभाषित है।वृत्त का समीकरण $(x-2)^2 + y^2 = 4$ है,जिसका केंद्र $(2,0)$ और त्रिज्या $2$ है।$y^2 = 2x$ और $x^2+y^2 = 4x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $y^2 = 2x$ को वृत्त के समीकरण में रखने पर प्राप्त होते हैं: $x^2 + 2x = 4x \implies x^2 - 2x = 0 \implies x(x-2) = 0$.अतः,$x=0$ और $x=2$. $x=2$ के लिए,$y^2 = 4 \implies y = \pm 2$. चूँकि $y \leq 0$,प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, -2)$ है।क्षेत्रफल चतुर्थ चतुर्थांश में $x=0$ से $x=2$ तक वृत्त और परवलय के बीच के अंतर का समाकलन है।क्षेत्रफल $= \int_{0}^{2} (\sqrt{4x-x^2} - \sqrt{2x}) dx = \pi - \frac{8}{3}$.

क्षेत्र $\{(x,y):y^2 \geq 2x, x^2+y^2 \leq 4x, x \geq 0, y \leq 0 \}$ का क्षेत्रफल (वर्ग इकाइयों में) है

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