क्षेत्र {(x, y): x^2 leq y leq 8-x^2, y leq 7 | vedclass

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Question

(D) यह क्षेत्र $y = x^2$,$y = 8 - x^2$,और $y = 7$ द्वारा घिरा हुआ है। सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implie

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$20$

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(D) यह क्षेत्र $y = x^2$,$y = 8 - x^2$,और $y = 7$ द्वारा घिरा हुआ है। सबसे पहले,प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें: $x^2 = 8 - x^2 \implies 2x^2 = 8 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$. $x = \pm 2$ पर,$y = 4$ है। साथ ही,$x^2 = 7 \implies x = \pm \sqrt{7}$ और $8 - x^2 = 7 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$. यह क्षेत्र $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है। क्षेत्रफल $= 2 	imes \int_{0}^{\sqrt{7}} (	ext{ऊपरी वक्र} - 	ext{निचला वक्र}) dx$ है। विशेष रूप से,ऊपरी सीमा $x \in [0, 1]$ के लिए $y = 7$ और $x \in [1, 2]$ के लिए $y = 8 - x^2$ है। निचली सीमा $x \in [0, 2]$ के लिए $y = x^2$ है। क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{0}^{1} (7 - x^2) dx + \int_{1}^{2} (8 - 2x^2) dx ight]$ $= 2 \left[ (7x - \frac{x^3}{3})_{0}^{1} + (8x - \frac{2x^3}{3})_{1}^{2} ight]$ $= 2 \left[ (7 - \frac{1}{3}) + ((16 - \frac{16}{3}) - (8 - \frac{2}{3})) ight]$ $= 2 \left[ \frac{20}{3} + (\frac{32}{3} - \frac{22}{3}) ight] = 2 \left[ \frac{20}{3} + \frac{10}{3} ight] = 2 \left[ \frac{30}{3} ight] = 20$.

क्षेत्र $\{(x, y): x^2 \leq y \leq 8-x^2, y \leq 7\}$ का क्षेत्रफल है

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