y=x^3, x-अक्ष, x=-2 और x=4 द्वारा परिबद्ध क्ष | vedclass

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Question

(A) $y=f(x)$ वक्र, $x$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ, $

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$68$

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(A) $y=f(x)$ वक्र, $x$-अक्ष और रेखाओं $x=a$ तथा $x=b$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$ द्वारा दिया जाता है। यहाँ, $f(x) = x^3$, $a = -2$ और $b = 4$ है। फलन $x^3$, $x  0$ के लिए धनात्मक है। अतः, समाकलन को $x = 0$ पर विभाजित किया जाता है: $A = \int_{-2}^{0} |x^3| \, dx + \int_{0}^{4} |x^3| \, dx = \int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx + \int_{0}^{4} x^3 \, dx$. प्रथम समाकलन का मान: $\int_{-2}^{0} (-x^3) \, dx = [-\frac{x^4}{4}]_{-2}^{0} = 0 - (-\frac{(-2)^4}{4}) = \frac{16}{4} = 4$. द्वितीय समाकलन का मान: $\int_{0}^{4} x^3 \, dx = [\frac{x^4}{4}]_{0}^{4} = \frac{4^4}{4} - 0 = 4^3 = 64$. कुल क्षेत्रफल $A = 4 + 64 = 68$ वर्ग इकाई।

$y=x^3$, $x$-अक्ष, $x=-2$ और $x=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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