दीर्घवृत्त frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = | vedclass

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Question

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। $a > b$ के लिए,उत्केंद्रता $e$ का मान $b^2 = a^2(1 - e^2)$ से प्राप्त होता है,जिस

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$b(be + a \sin^{-1} e)$

Vedclass · Answer

(C) दीर्घवृत्त का समीकरण $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है। $a > b$ के लिए,उत्केंद्रता $e$ का मान $b^2 = a^2(1 - e^2)$ से प्राप्त होता है,जिससे $ae = \sqrt{a^2 - b^2}$ मिलता है। नाभिलंब की रेखा $x = ae$ है। दीर्घवृत्त और उसके नाभिलंब द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $2 \int_{ae}^{a} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $y = \frac{b}{a} \sqrt{a^2 - x^2}$,क्षेत्रफल $2 \frac{b}{a} \int_{ae}^{a} \sqrt{a^2 - x^2} \, dx$ होगा। समाकलन सूत्र $\int \sqrt{a^2 - x^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करते हुए,$ae$ से $a$ तक सीमाएं लगाने पर: क्षेत्रफल $= \frac{2b}{a} [\frac{x}{2} \sqrt{a^2 - x^2} + \frac{a^2}{2} \sin^{-1}(\frac{x}{a})]_{ae}^{a}$। इसे हल करने पर सही विकल्प $b(be + a \sin^{-1} e)$ प्राप्त होता है।

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