वृत्तों x^{2}+y^{2}=4 और x^{2}+(y-2)^{2}=4 के | vedclass

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Question

(D) दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ (केंद्र $(0,0)$, त्रिज्या $2$) और $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ (केंद्र $(0,2)$, त्रिज्या $2$) हैं।समीकरणों को हल करने पर: $x^{

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$\frac{2}{3}(4\pi-3\sqrt{3})$

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(D) दिए गए वृत्त $x^{2}+y^{2}=4$ (केंद्र $(0,0)$, त्रिज्या $2$) और $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ (केंद्र $(0,2)$, त्रिज्या $2$) हैं।समीकरणों को हल करने पर: $x^{2}+y^{2}=4$ और $x^{2}+y^{2}-4y+4=4$ प्राप्त होता है।दूसरे समीकरण में $x^{2}+y^{2}=4$ रखने पर: $4-4y+4=4$, जिससे $4y=4$ प्राप्त होता है, अतः $y=1$ है।$y=1$ को $x^{2}+y^{2}=4$ में रखने पर, हमें $x^{2}+1=4$ मिलता है, इसलिए $x^{2}=3$, $x=\pm\sqrt{3}$ है।प्रतिच्छेदन का क्षेत्रफल $y$-अक्ष के सापेक्ष सममित है।क्षेत्रफल $A = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} [\sqrt{4-x^{2}} - (2 - \sqrt{4-x^{2}})] dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{3}} (2\sqrt{4-x^{2}} - 2) dx = 4 \int_{0}^{\sqrt{3}} (\sqrt{4-x^{2}} - 1) dx$ है।सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:$A = 4 [\frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2}) - x]_{0}^{\sqrt{3}}$$A = 4 [(\frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{4-3} + 2\sin^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})) - \sqrt{3}]$$A = 4 [\frac{\sqrt{3}}{2} + 2(\frac{\pi}{3}) - \sqrt{3}] = 4 [\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}] = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3} = \frac{2}{3}(4\pi - 3\sqrt{3})$।

वृत्तों $x^{2}+y^{2}=4$ और $x^{2}+(y-2)^{2}=4$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए:

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