प्रथम चतुर्थांश में वृत्त x^2+y^2=8 के अंदर औ | vedclass

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Question

(B) सबसे पहले,वृत्त $x^2+y^2=8$ और परवलय $y^2=2x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।वृत्त के समीकरण में $y^2=2x$ रखने पर: $x^2+2x-8=0$.$(x+4)(x-2)=0$,इस

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$\pi-\frac{2}{3}$

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(B) सबसे पहले,वृत्त $x^2+y^2=8$ और परवलय $y^2=2x$ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।वृत्त के समीकरण में $y^2=2x$ रखने पर: $x^2+2x-8=0$.$(x+4)(x-2)=0$,इसलिए $x=2$ (क्योंकि प्रथम चतुर्थांश में $x \ge 0$ है)।$x=2$ पर,$y^2=4$,इसलिए $y=2$ है।अभीष्ट क्षेत्रफल $x=0$ से $x=2$ तक वृत्त के नीचे का क्षेत्रफल माइनस $x=0$ से $x=2$ तक परवलय के नीचे का क्षेत्रफल है।क्षेत्रफल $= \int_0^2 \sqrt{8-x^2} dx - \int_0^2 \sqrt{2x} dx$$= \left[ \frac{x}{2}\sqrt{8-x^2} + \frac{8}{2}\sin^{-1}\left(\frac{x}{\sqrt{8}}\right) \right]_0^2 - \sqrt{2} \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_0^2$$= \left( \frac{2}{2}\sqrt{8-4} + 4\sin^{-1}\left(\frac{2}{2\sqrt{2}}\right) \right) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2^{3/2})$$= (1 \cdot 2 + 4 \cdot \frac{\pi}{4}) - \frac{2\sqrt{2}}{3}(2\sqrt{2})$$= 2 + \pi - \frac{8}{3} = \pi - \frac{2}{3}$.

प्रथम चतुर्थांश में वृत्त $x^2+y^2=8$ के अंदर और परवलय $y^2=2x$ के बाहर स्थित क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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