परवलय $y^2 = 4x$ के अंदर बने त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके शीर्षों के कोटि $1, 2$ और $4$ हैं।

एक बाहरी बिंदु $P$ से परवलय $y^2 = 4x$ पर स्पर्श रेखाओं का एक युग्म खींचा जाता है। यदि $\theta_1$ और $\theta_2$ स्पर्श रेखाओं द्वारा $x$-अक्ष के साथ बनाए गए कोण हैं,जैसे कि $\theta_1 + \theta_2 = \frac{\pi}{4}$,तो $P$ का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए।

$2$ इकाई त्रिज्या वाला एक वृत्त परवलय $y^{2}=2x$ के शीर्ष और नाभि से होकर गुजरता है और परवलय $y=\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}+\alpha$ को स्पर्श करता है,जहाँ $\alpha>0$ है। तो $(4\alpha-8)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि परवलय $y^2 = ax$ की स्पर्श रेखा $x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है,तो स्पर्श बिंदु क्या है?

माना कि परवलय $y = x^2 + px + q$ बिंदु $(1, -1)$ से होकर गुजरता है और इसके शीर्ष तथा $x$-अक्ष के बीच की दूरी न्यूनतम है। तो $p^2 + q^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $S$ उन सभी $a \in \mathbb{N}$ का समुच्चय है जिनके लिए परवलय $y^2 = 2ax$ पर बिंदु $P(b, c)$ (जहाँ $b, c \in \mathbb{N}$) पर स्पर्शरेखा और रेखाओं $x = b$ तथा $y = 0$ द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $16 \text{ unit}^2$ है। तो $\sum_{a \in S} a$ का मान $..........$ है।