अर्ध-वृत्ताकार चाप पर आवेश का वितरण असमान है। | vedclass

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Question

(A) चाप पर एक छोटे अवयव पर विचार करें जो ऊर्ध्वाधर के साथ $	heta$ कोण पर है और जिसकी कोणीय चौड़ाई $d	heta$ है। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda (R d	h

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$8$

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(A) चाप पर एक छोटे अवयव पर विचार करें जो ऊर्ध्वाधर के साथ $	heta$ कोण पर है और जिसकी कोणीय चौड़ाई $d	heta$ है। इस अवयव पर आवेश $dq = \lambda (R d	heta) = (\lambda_0 \sin 	heta) R d	heta$ है।केंद्र $P$ पर इस अवयव के कारण विद्युत क्षेत्र $dE = \frac{k dq}{R^2} = \frac{1}{4\pi \epsilon_0} \frac{\lambda_0 \sin 	heta R d	heta}{R^2} = \frac{\lambda_0 \sin 	heta d	heta}{4\pi \epsilon_0 R}$ है।समरूपता के कारण,विद्युत क्षेत्र के क्षैतिज घटक एक-दूसरे को निरस्त कर देते हैं। कुल विद्युत क्षेत्र $E_1$ ऊर्ध्वाधर अक्ष की दिशा में है और यह $-\pi/2$ से $\pi/2$ तक के घटकों $dE \sin 	heta$ का समाकलन है:$E_1 = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{\lambda_0 \sin 	heta d	heta}{4\pi \epsilon_0 R} \sin 	heta = \frac{\lambda_0}{4\pi \epsilon_0 R} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \sin^2 	heta d	heta = \frac{\lambda_0}{4\pi \epsilon_0 R} \left[ \frac{	heta}{2} - \frac{\sin(2	heta)}{4} ight]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \frac{\lambda_0}{4\pi \epsilon_0 R} \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\lambda_0}{8 \epsilon_0 R}$.अतः,$\frac{\lambda_0}{\epsilon_0 E_1 R} = \frac{\lambda_0}{\epsilon_0 (\lambda_0 / 8 \epsilon_0 R) R} = 8$.

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