વર્તુળ x^2+y^2-8x=0 અને અતિવલય frac{x^2}{9}-f | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) $1.$ અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ નો સ્પર્શક $y=mx+\sqrt{9m^2-4}$ છે,જ્યાં $m>0$.આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2-8x=0$ ને પણ સ્પર્શે છે,જેનું કેન

Vedclass · Accepted Answer

$(B, A)$

Vedclass · Answer

(A) $1.$ અતિવલય $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$ નો સ્પર્શક $y=mx+\sqrt{9m^2-4}$ છે,જ્યાં $m>0$.આ રેખા વર્તુળ $x^2+y^2-8x=0$ ને પણ સ્પર્શે છે,જેનું કેન્દ્ર $(4, 0)$ અને ત્રિજ્યા $r=4$ છે.કેન્દ્ર $(4, 0)$ થી રેખા $mx-y+\sqrt{9m^2-4}=0$ નું લંબ અંતર ત્રિજ્યા $4$ જેટલું હોવું જોઈએ.$\frac{|4m-0+\sqrt{9m^2-4}|}{\sqrt{m^2+1}}=4 \Rightarrow |4m+\sqrt{9m^2-4}|=4\sqrt{m^2+1}$.બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $16m^2 + 9m^2 - 4 + 8m\sqrt{9m^2-4} = 16(m^2+1) = 16m^2+16$.$8m\sqrt{9m^2-4} = 20-9m^2$.ફરીથી વર્ગ કરતા: $64m^2(9m^2-4) = (20-9m^2)^2 \Rightarrow 576m^4 - 256m^2 = 400 - 360m^2 + 81m^4$.$495m^4 + 104m^2 - 400 = 0$. $m^2$ માટે ઉકેલતા,$m^2 = 4/5$,તેથી $m = 2/\sqrt{5}$.$m$ ની કિંમત મૂકતા,સ્પર્શક $y = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \sqrt{9(\frac{4}{5})-4} = \frac{2}{\sqrt{5}}x + \frac{4}{\sqrt{5}}$ મળે છે.આમ,$2x-\sqrt{5}y+4=0$,જે વિકલ્પ $(B)$ છે.$2.$ અતિવલય પરનું બિંદુ $(3\sec	heta, 2	an	heta)$ છે.વર્તુળના સમીકરણમાં મૂકતા: $(3\sec	heta)^2 + (2	an	heta)^2 - 8(3\sec	heta) = 0$.$9\sec^2	heta + 4(\sec^2	heta-1) - 24\sec	heta = 0 \Rightarrow 13\sec^2	heta - 24\sec	heta - 4 = 0$.$(13\sec	heta+2)(\sec	heta-2) = 0$. $\sec	heta=2$ હોવાથી,$	an^2	heta = 2^2-1=3$,તેથી $	an	heta = \pm\sqrt{3}$.બિંદુઓ $A(6, 2\sqrt{3})$ અને $B(6, -2\sqrt{3})$ છે.$AB$ વ્યાસવાળા વર્તુળનું કેન્દ્ર $(6, 0)$ અને ત્રિજ્યા $2\sqrt{3}$ છે.સમીકરણ: $(x-6)^2 + y^2 = (2\sqrt{3})^2 \Rightarrow x^2-12x+36+y^2=12 \Rightarrow x^2+y^2-12x+24=0$,જે વિકલ્પ $(A)$ છે.

Similar Questions

ધારો કે $y^2 = 4ax$ એક પરવલય છે અને $x^2 + y^2 + 2bx = 0$ એક વર્તુળ છે. જો પરવલય અને વર્તુળ એકબીજાને બહારથી સ્પર્શતા હોય,તો:

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module