वृत्त $x^2 + y^2 + 4x - 4y + 4 = 0$ स्पर्श करता है

मान लीजिए कि बिंदु $B$,रेखा $8x-6y-23=0$ के सापेक्ष बिंदु $A(2,3)$ का प्रतिबिंब है। मान लीजिए $\Gamma_A$ और $\Gamma_B$ क्रमशः $A$ और $B$ केंद्रों वाले $2$ और $1$ त्रिज्या के वृत्त हैं। मान लीजिए $T$ वृत्तों $\Gamma_A$ और $\Gamma_B$ की एक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है,इस प्रकार कि दोनों वृत्त $T$ के एक ही ओर स्थित हैं। यदि $C$,$T$ और $A$ तथा $B$ से गुजरने वाली रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है,तो रेखाखंड $AC$ की लंबाई ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S$,$XY$-समतल में एक वृत्त है जो $X$-अक्ष को बिंदु $A$ पर,$Y$-अक्ष को बिंदु $B$ पर और इकाई वृत्त $x^2+y^2=1$ को बिंदु $C$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है। यदि $O$ मूल बिंदु को दर्शाता है,तो कोण $\angle OCA$ बराबर है:

वृत्त $x^2+y^2-4x+4y+3=0$ द्वारा रेखा $x=3y+13$ पर अंतःखंडित जीवा की लंबाई कितने इकाई है?

रेखा $ax + by = 0$ $(a \neq b)$ और वृत्त $x^2 + y^2 - 2x = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु $A(\alpha, 0)$ और $B(1, \beta)$ हैं। $AB$ को व्यास मानकर बनाए गए वृत्त का रेखा $x + y + 2 = 0$ में प्रतिबिंब क्या है?

यदि रेखा $2x + 5y + \alpha = 0$ और धनात्मक निर्देशांक अक्षों द्वारा बने त्रिभुज के परिवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{29\pi}{4}$ वर्ग इकाई है,तो $|\alpha| =$