मान लीजिए S,XY-समतल में एक वृत्त है जो X-अक्ष | vedclass

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Question

(A) मान लीजिए $P$ वृत्त $S$ का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है। चूंकि यह $X$-अक्ष को $A$ पर और $Y$-अक्ष को $B$ पर स्पर्श करता है,इसलिए $P$ के निर्दे

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$\frac{5\pi}{8}$

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(A) मान लीजिए $P$ वृत्त $S$ का केंद्र है और $r$ इसकी त्रिज्या है। चूंकि यह $X$-अक्ष को $A$ पर और $Y$-अक्ष को $B$ पर स्पर्श करता है,इसलिए $P$ के निर्देशांक $(r, r)$ हैं।मूल बिंदु $O(0,0)$ से $P(r,r)$ की दूरी $OP = \sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ है।चूंकि वृत्त $S$,इकाई वृत्त $x^2+y^2=1$ को $C$ पर बाह्य रूप से स्पर्श करता है,इसलिए उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है: $OP = 1 + r$.$OP$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $r\sqrt{2} = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1$.$	riangle OAP$ में,$OA = r$,$AP = r$,और $\angle OAP = 90^{\circ}$ है। अतः,$	riangle OAP$ एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle AOP = \angle APO = 45^{\circ}$ है।$	riangle PCA$ में,$PC = r$ और $AC = r$ (वृत्त $S$ की त्रिज्याएँ) हैं। अतः,$	riangle PCA$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें $\angle PCA = \angle PAC$ है।कोण $\angle CPA = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ (क्योंकि $O, C, P$ संरेख हैं)।$	riangle PCA$ में,$2\angle PCA + 135^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2\angle PCA = 45^{\circ} \Rightarrow \angle PCA = 22.5^{\circ} = \frac{\pi}{8}$ है।अंत में,$\angle OCA = 180^{\circ} - \angle PCA = 180^{\circ} - 22.5^{\circ} = 157.5^{\circ} = \frac{5\pi}{8}$ है।

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