ધારો કે S એ XY-સમતલમાં એક વર્તુળ છે જે X-અક્ષ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે. તે $X$-અક્ષને $A$ પર અને $Y$-અક્ષને $B$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,$P$ ના યામ $(r, r)$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{5\pi}{8}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $P$ એ વર્તુળ $S$ નું કેન્દ્ર છે અને $r$ તેની ત્રિજ્યા છે. તે $X$-અક્ષને $A$ પર અને $Y$-અક્ષને $B$ પર સ્પર્શતું હોવાથી,$P$ ના યામ $(r, r)$ છે.ઉગમબિંદુ $O(0,0)$ થી $P(r,r)$ નું અંતર $OP = \sqrt{r^2+r^2} = r\sqrt{2}$ છે.વર્તુળ $S$ એ એકમ વર્તુળ $x^2+y^2=1$ ને $C$ પર બહારથી સ્પર્શતું હોવાથી,તેમના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું થાય: $OP = 1 + r$.$OP$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $r\sqrt{2} = 1 + r \Rightarrow r(\sqrt{2}-1) = 1 \Rightarrow r = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \sqrt{2}+1$.$	riangle OAP$ માં,$OA = r$,$AP = r$,અને $\angle OAP = 90^{\circ}$. તેથી,$	riangle OAP$ એ સમદ્વિબાજુ કાટકોણ ત્રિકોણ છે,તેથી $\angle AOP = \angle APO = 45^{\circ}$.$	riangle PCA$ માં,$PC = r$ અને $AC = r$ (વર્તુળ $S$ ની ત્રિજ્યાઓ). તેથી,$	riangle PCA$ એ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ છે જેમાં $\angle PCA = \angle PAC$ છે.ખૂણો $\angle CPA = 180^{\circ} - 45^{\circ} = 135^{\circ}$ (કારણ કે $O, C, P$ સમરેખ છે).$	riangle PCA$ માં,$2\angle PCA + 135^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow 2\angle PCA = 45^{\circ} \Rightarrow \angle PCA = 22.5^{\circ} = \frac{\pi}{8}$.અંતે,$\angle OCA = 180^{\circ} - \angle PCA = 180^{\circ} - 22.5^{\circ} = 157.5^{\circ} = \frac{5\pi}{8}$.

Similar Questions

જો $5x - 12y + 10 = 0$ અને $12y - 5x + 16 = 0$ એ વર્તુળના બે સ્પર્શકો હોય,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલી થાય?

$x+y=4$,$x-y=-2$ અને $y=2$ ત્રણેય રેખાઓને સ્પર્શતા વર્તુળોની સંખ્યા કેટલી છે?

રેખા $ax + by + c = 0$ એ વર્તુળ $x^2 + y^2 = r^2$ નો અભિલંબ છે. આ વર્તુળ દ્વારા અંતઃખંડિત થતી રેખા $ax + by + c = 0$ ના ભાગની લંબાઈ કેટલી છે?

જો એક વર્તુળ જેનું કેન્દ્ર $(1, -3)$ છે તે રેખા $3x - 4y - 5 = 0$ ને સ્પર્શે છે,તો વર્તુળની ત્રિજ્યા કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module