frac{(1 + x)^2}{(1 - x)^3} में x^n का गुणांक | vedclass

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Question

(B) हमारे पास $\frac{(1 + x)^2}{(1 - x)^3} = (1 + 2x + x^2)(1 - x)^{-3}$ है।ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$(1 - x)^{-3} = \sum

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$2n^2 + 2n + 1$

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(B) हमारे पास $\frac{(1 + x)^2}{(1 - x)^3} = (1 + 2x + x^2)(1 - x)^{-3}$ है।ऋणात्मक घातांक के लिए द्विपद प्रसार का उपयोग करते हुए,$(1 - x)^{-3} = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$।अतः,व्यंजक $(1 + 2x + x^2) \sum_{r=0}^{\infty} \binom{r+2}{2} x^r$ है।$x^n$ का गुणांक इस प्रकार प्राप्त होता है:$= 1 \cdot \binom{n+2}{2} + 2 \cdot \binom{n+1}{2} + 1 \cdot \binom{n}{2}$$= \frac{(n+2)(n+1)}{2} + 2 \frac{(n+1)n}{2} + \frac{n(n-1)}{2}$$= \frac{1}{2} [n^2 + 3n + 2 + 2n^2 + 2n + n^2 - n]$$= \frac{1}{2} [4n^2 + 4n + 2] = 2n^2 + 2n + 1$।

$\frac{(1 + x)^2}{(1 - x)^3}$ में $x^n$ का गुणांक है

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