(1+x)^{21}+(1+x)^{22}+ldots+(1+x)^{30} के विस | vedclass

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Question

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक ${ }^n C_r$ होता है। दी गई अभिव्यक्ति में $x^5$ का गुणांक प्रत्येक पद के $x^5$ के गुणांकों का योग है: ${

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${ }^{31} C_6-{ }^{21} C_6$

Vedclass · Answer

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक ${ }^n C_r$ होता है। दी गई अभिव्यक्ति में $x^5$ का गुणांक प्रत्येक पद के $x^5$ के गुणांकों का योग है: ${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + { }^{23} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5$. सर्वसमिका ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हुए: ${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5 = ({ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5) - { }^{21} C_6$. इस सर्वसमिका को बार-बार लागू करने पर: ${ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 = { }^{22} C_6$. ${ }^{22} C_6 + { }^{22} C_5 = { }^{23} C_6$. अंतिम पद तक इस प्रक्रिया को जारी रखने पर: ${ }^{30} C_6 + { }^{30} C_5 = { }^{31} C_6$. अतः,योग ${ }^{31} C_6 - { }^{21} C_6$ है।

$(1+x)^{21}+(1+x)^{22}+\ldots+(1+x)^{30}$ के विस्तार में $x^5$ का गुणांक है

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