સમીકરણો z^3+2z^2+2z+1=0 અને z^{2014}+z^{2015} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ સમીકરણ $z^3+2z^2+2z+1=0$ ને $(z+1)(z^2+z+1)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે. તેના બીજ $-1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ

Vedclass · Accepted Answer

$\omega, \omega^2$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ સમીકરણ $z^3+2z^2+2z+1=0$ ને $(z+1)(z^2+z+1)=0$ તરીકે અવયવ પાડી શકાય છે. તેના બીજ $-1, \omega, \omega^2$ છે,જ્યાં $\omega$ એ એકમનું સંકર ઘનમૂળ છે. ધારો કે $f(z) = z^{2014}+z^{2015}+1$. $z=-1$ માટે ચકાસતા: $f(-1) = (-1)^{2014}+(-1)^{2015}+1 = 1-1+1 = 1 
eq 0$. તેથી,$-1$ સામાન્ય બીજ નથી. $z=\omega$ માટે ચકાસતા: $f(\omega) = \omega^{2014}+\omega^{2015}+1 = (\omega^3)^{671} \cdot \omega + (\omega^3)^{671} \cdot \omega^2 + 1 = \omega + \omega^2 + 1 = 0$. તેથી,$\omega$ સામાન્ય બીજ છે. $z=\omega^2$ માટે ચકાસતા: $f(\omega^2) = (\omega^2)^{2014}+(\omega^2)^{2015}+1 = \omega^{4028}+\omega^{4030}+1 = (\omega^3)^{1342} \cdot \omega^2 + (\omega^3)^{1343} \cdot \omega + 1 = \omega^2 + \omega + 1 = 0$. તેથી,$\omega^2$ સામાન્ય બીજ છે. આમ,સામાન્ય બીજ $\omega$ અને $\omega^2$ છે.

સમીકરણો $z^3+2z^2+2z+1=0$ અને $z^{2014}+z^{2015}+1=0$ ના સામાન્ય બીજ કયા છે?

Similar Questions

${\left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right)^{1000}} = $

$\sum_{k = 1}^{10} \left( \sin \frac{2k\pi}{11} + i\cos \frac{2k\pi}{11} \right)$ નું મૂલ્ય શું છે?

જો $1, \omega, \omega^2$ એ એકમના ઘનમૂળ દર્શાવતા હોય,તો $(1-\omega+\omega^2)^5+(1+\omega-\omega^2)^5$ ની કિંમત શું થાય?

$(-\sqrt{3} + i)^{53}$,જ્યાં $i^2 = -1$,ની કિંમત શોધો.

જો ${\left( {\frac{{1 + \cos \theta + i\sin \theta }}{{i + \sin \theta + i\cos \theta }}} \right)^4} = \cos n\theta + i\sin n\theta $ હોય,તો $n$ ની કિંમત શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module