समीकरणों z^3+2z^2+2z+1=0 और z^{2018}+z^{2017} | vedclass

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Question

(B) दिया गया है,$z^3+2z^2+2z+1=0$.गुणनखंड करने पर: $(z^3+1)+2z(z+1)=0$.$(z+1)(z^2-z+1)+2z(z+1)=0$.$(z+1)(z^2-z+1+2z)=0$.$(z+1)(z^2+z+1)=0$.मूल $z=-1$

Vedclass · Accepted Answer

$z^4+z^2+1=0$

Vedclass · Answer

(B) दिया गया है,$z^3+2z^2+2z+1=0$.गुणनखंड करने पर: $(z^3+1)+2z(z+1)=0$.$(z+1)(z^2-z+1)+2z(z+1)=0$.$(z+1)(z^2-z+1+2z)=0$.$(z+1)(z^2+z+1)=0$.मूल $z=-1$ और $z^2+z+1=0$ के मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।अब,$z^{2018}+z^{2017}+1=0$ में इन मूलों की जाँच करने पर:$z=-1$ के लिए: $(-1)^{2018}+(-1)^{2017}+1 = 1-1+1 = 1 
eq 0$.$z=\omega$ के लिए: $\omega^{2018}+\omega^{2017}+1 = \omega^2+\omega+1 = 0$.$z=\omega^2$ के लिए: $(\omega^2)^{2018}+(\omega^2)^{2017}+1 = \omega+\omega^2+1 = 0$.उभयनिष्ठ मूल $\omega$ और $\omega^2$ हैं।$z=\omega$ और $z=\omega^2$ के लिए विकल्पों की जाँच करने पर:$z^4+z^2+1=0$ के लिए:यदि $z=\omega$,तो $\omega^4+\omega^2+1 = \omega+\omega^2+1 = 0$.यदि $z=\omega^2$,तो $(\omega^2)^4+(\omega^2)^2+1 = \omega^8+\omega^4+1 = \omega^2+\omega+1 = 0$.अतः,उभयनिष्ठ मूल $z^4+z^2+1=0$ को संतुष्ट करते हैं।

समीकरणों $z^3+2z^2+2z+1=0$ और $z^{2018}+z^{2017}+1=0$ के उभयनिष्ठ मूल किस समीकरण को संतुष्ट करते हैं?

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