n का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीज | vedclass

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Question

(D) माना $z = \frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2}-	heta)$

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(D) माना $z = \frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2}-	heta)$ और $\cos 	heta = \sin(\frac{\pi}{2}-	heta)$ का उपयोग करते हुए,$\alpha = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$ लें।तब $z = \frac{1+\cos \alpha + i \sin \alpha}{1+\cos \alpha - i \sin \alpha} = \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} - i \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{e^{i \alpha/2}}{e^{-i \alpha/2}} = e^{i \alpha}$.अतः,$z^n = e^{i n \alpha} = e^{i n (3\pi/8)} = \cos(\frac{3n\pi}{8}) + i \sin(\frac{3n\pi}{8})$.$z^n = 1$ के लिए,$\sin(\frac{3n\pi}{8}) = 0$ और $\cos(\frac{3n\pi}{8}) = 1$ होना चाहिए।इसका अर्थ है कि $\frac{3n\pi}{8} = 2k\pi$,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।$3n = 16k \implies n = \frac{16k}{3}$.सबसे छोटे धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए,$k=3$ रखने पर,$n = 16$ प्राप्त होता है।

$n$ का सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए $\left[\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right]^{n} = 1$ हो।

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