n નું સૌથી નાનું ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો જેથી | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(D) ધારો કે $z = \frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2}-	heta

Vedclass · Accepted Answer

$8$

Vedclass · Answer

(D) ધારો કે $z = \frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}$.$\sin 	heta = \cos(\frac{\pi}{2}-	heta)$ અને $\cos 	heta = \sin(\frac{\pi}{2}-	heta)$ નો ઉપયોગ કરતા,$\alpha = \frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{8}$ લો.તેથી $z = \frac{1+\cos \alpha + i \sin \alpha}{1+\cos \alpha - i \sin \alpha} = \frac{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} + 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}}{2 \cos^2 \frac{\alpha}{2} - 2i \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2}} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2} + i \sin \frac{\alpha}{2}}{\cos \frac{\alpha}{2} - i \sin \frac{\alpha}{2}} = \frac{e^{i \alpha/2}}{e^{-i \alpha/2}} = e^{i \alpha}$.આમ,$z^n = e^{i n \alpha} = e^{i n (3\pi/8)} = \cos(\frac{3n\pi}{8}) + i \sin(\frac{3n\pi}{8})$.$z^n = 1$ માટે,$\sin(\frac{3n\pi}{8}) = 0$ અને $\cos(\frac{3n\pi}{8}) = 1$ હોવું જોઈએ.આનો અર્થ એ છે કે $\frac{3n\pi}{8} = 2k\pi$,જ્યાં $k$ કોઈ પૂર્ણાંક છે.$3n = 16k \implies n = \frac{16k}{3}$.સૌથી નાના ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$k=3$ લેતા,$n = 16$ મળે છે.

$n$ નું સૌથી નાનું ધન પૂર્ણાંક મૂલ્ય શોધો જેથી $\left[\frac{1+\sin \frac{\pi}{8}+i \cos \frac{\pi}{8}}{1+\sin \frac{\pi}{8}-i \cos \frac{\pi}{8}}\right]^{n} = 1$ થાય.

Similar Questions

જો $2x = -1 + \sqrt{3}i$ હોય,તો $(1 - x^2 + x)^6 - (1 - x + x^2)^6$ ની કિંમત શોધો.

જો $n$ એ પૂર્ણાંક સંખ્યા હોય જેને $3$ વડે ભાગતા શેષ $1$ વધે,તો $(1+\sqrt{3}i)^n + (1-\sqrt{3}i)^n$ ની કિંમત શું થાય?

$\frac{(\cos \alpha + i\sin \alpha )^4}{(\sin \beta + i\cos \beta )^5} = $

જો $2 \alpha = -1 - i \sqrt{3}$ અને $2 \beta = -1 + i \sqrt{3}$ હોય,તો $5 \alpha^4 + 5 \beta^4 + 7 \alpha^{-1} \beta^{-1}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x = a + b$,$y = a\omega + b\omega^2$,અને $z = a\omega^2 + b\omega$ હોય,તો $x^3 + y^3 + z^3$ ની કિંમત કેટલી થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module