int_0^pi {left| {,{{sin }^4}x,} right|,dx} क | vedclass

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Question

(A) हमें $I = \int_0^\pi {\left| {\sin^4 x} \right|\,dx}$ का मूल्यांकन करना है।चूंकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin^4 x \ge 0$ है,इसलिए हम मापांक (abso

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$\frac{{3\pi }}{8}$

Vedclass · Answer

(A) हमें $I = \int_0^\pi {\left| {\sin^4 x} \right|\,dx}$ का मूल्यांकन करना है।चूंकि $x \in [0, \pi]$ के लिए $\sin^4 x \ge 0$ है,इसलिए हम मापांक (absolute value) को हटा सकते हैं: $I = \int_0^\pi \sin^4 x \,dx$.गुणधर्म $\int_0^{2a} f(x) \,dx = 2 \int_0^a f(x) \,dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(2a-x) = f(x)$ है:$I = 2 \int_0^{\pi/2} \sin^4 x \,dx$.वालिस के सूत्र के अनुसार,सम $n$ के लिए $\int_0^{\pi/2} \sin^n x \,dx = \frac{(n-1)!!}{n!!} \cdot \frac{\pi}{2}$:$I = 2 \cdot \left( \frac{3 \cdot 1}{4 \cdot 2} \cdot \frac{\pi}{2} \right) = 2 \cdot \frac{3\pi}{16} = \frac{3\pi}{8}$.

$\int_0^\pi {\left| {\,{{\sin }^4}x\,} \right|\,dx} $ का सही मूल्यांकन क्या है?

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मान लीजिए $x > 0$ के लिए $S(x) = \int_{x^2}^{x^3} \ln t \, dt$ और $H(x) = \frac{S'(x)}{x}$ है। तो $H(x)$ है :

$\int_0^{\pi /2} \sin^2 x \cos^3 x \, dx = $

यदि $f(x) = \int_{0}^{x} t \sin t \,dt$ है,तो $f^{\prime}(x)$ है

यदि $\varphi (x) = \int_{1/x}^{\sqrt{x}} \sin(t^2) \, dt$ है,तो $\varphi'(1) = $

$\int_0^{x^2} \frac{t^2 - 5t + 4}{2 + e^t} \,dt$ के चरम बिंदु (points of extremum) हैं

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