वक्र y=ax^3+bx^2+cx+5,P(-2,0) पर X-अक्ष को स् | vedclass

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Question

(A) वक्र का समीकरण $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है ...$(i)$चूंकि वक्र $P(-2,0)$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,यह $P(-2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $-8a+4b-2c+5=0$ ..

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$a=-\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{4}, c=3$

Vedclass · Answer

(A) वक्र का समीकरण $y=ax^3+bx^2+cx+5$ है ...$(i)$चूंकि वक्र $P(-2,0)$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,यह $P(-2,0)$ से गुजरता है,इसलिए $-8a+4b-2c+5=0$ ...(ii)साथ ही,चूंकि यह $x=-2$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है,$x=-2$ पर अवकलज $\frac{dy}{dx} = 0$ होगा।$\frac{dy}{dx} = 3ax^2+2bx+c$. $x=-2$ पर,$12a-4b+c=0$ ...(iii)वक्र $Y$-अक्ष को $Q(0,5)$ पर काटता है जहाँ प्रवणता $3$ है,इसलिए $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0} = 3$,जिससे $c=3$ प्राप्त होता है।$c=3$ को (ii) और (iii) में प्रतिस्थापित करने पर:$-8a+4b-6+5=0 \Rightarrow -8a+4b=1$ ...(iv)$12a-4b+3=0 \Rightarrow 12a-4b=-3$ ...$(v)$(iv) और $(v)$ को जोड़ने पर: $4a = -2 \Rightarrow a=-\frac{1}{2}$.$a=-\frac{1}{2}$ को (iv) में रखने पर: $-8(-\frac{1}{2})+4b=1 \Rightarrow 4+4b=1 \Rightarrow 4b=-3 \Rightarrow b=-\frac{3}{4}$.अतः,$a=-\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{4}, c=3$.

वक्र $y=ax^3+bx^2+cx+5$,$P(-2,0)$ पर $X$-अक्ष को स्पर्श करता है और $Y$-अक्ष को बिंदु $Q$ पर काटता है,जहाँ प्रवणता $3$ है। तो $a, b, c$ के मान हैं

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