रेडियम के क्षय की दर किसी भी समय t पर उपस्थित | vedclass

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Question

(B) माना समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है। यह दिया गया है कि क्षय की दर उपस्थित मात्रा के समानुपाती है, इसलिए $\frac{dm}{dt} = -km$, जहाँ $k > 0$

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$15$

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(B) माना समय $t$ पर पदार्थ का द्रव्यमान $m$ है। यह दिया गया है कि क्षय की दर उपस्थित मात्रा के समानुपाती है, इसलिए $\frac{dm}{dt} = -km$, जहाँ $k > 0$ है। चरों को अलग करने पर, हमें $\frac{dm}{m} = -k dt$ प्राप्त होता है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर, हमें $\ln m = -kt + c$ प्राप्त होता है। $t = 0$ पर, $m = 60$, इसलिए $\ln 60 = c$। अतः, $\ln m = -kt + \ln 60$। अर्ध-आयु $T_{1/2} = 1600 	ext{ years}$ दी गई है, इसलिए $t = 1600$ पर, $m = \frac{60}{2} = 30$। इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\ln 30 = -1600k + \ln 60$, जिससे $1600k = \ln 60 - \ln 30 = \ln 2$ प्राप्त होता है। अतः, $k = \frac{\ln 2}{1600}$। अब, $t = 3200$ के लिए, मात्रा $m$ इस प्रकार है: $\ln m = -\left(\frac{\ln 2}{1600}ight)(3200) + \ln 60$। $\ln m = -2 \ln 2 + \ln 60 = -\ln 4 + \ln 60 = \ln \left(\frac{60}{4}ight) = \ln 15$। इसलिए, $m = 15 	ext{ grams}$।

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