બહિર્મુખ ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો કાટખૂણે છેદે છે. સાબિત કરો કે $PQ^{2} + RS^{2} = PS^{2} + QR^{2}$.

(A) ધારો કે ચતુષ્કોણ $PQRS$ ના વિકર્ણો $PR$ અને $QS$ બિંદુ $O$ પર કાટખૂણે છેદે છે.
તેથી,$\angle POQ = \angle QOR = \angle ROS = \angle SOP = 90^{\circ}$.
કાટકોણ $\triangle POQ$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PQ^{2} = PO^{2} + OQ^{2}$.
કાટકોણ $\triangle ROS$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $RS^{2} = RO^{2} + OS^{2}$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $PQ^{2} + RS^{2} = PO^{2} + OQ^{2} + RO^{2} + OS^{2}$ --- (સમીકરણ $1$).
કાટકોણ $\triangle SOP$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $PS^{2} = SO^{2} + OP^{2}$.
કાટકોણ $\triangle QOR$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ: $QR^{2} = OQ^{2} + OR^{2}$.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $PS^{2} + QR^{2} = SO^{2} + OP^{2} + OQ^{2} + OR^{2}$ --- (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ ની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે જમણી બાજુઓ સમાન છે.
તેથી,$PQ^{2} + RS^{2} = PS^{2} + QR^{2}$.