फलन $f(x) = 2x^3 - 15x^2 + 36x + 40$ के स्थानीय चरम मानों के बीच का अंतर ...... है।

$a$ का धनात्मक मान ज्ञात कीजिए जिसके लिए समानता $2 \alpha + \beta = 8$ सत्य है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ फलन $f(x) = 2 x^3 - 9 a x^2 + 12 a^2 x + 1$ के क्रमशः उच्चतम और निम्नतम बिंदु हैं।

$X$-अक्ष और $Y$-अक्ष के समानांतर भुजाओं वाला एक आयत,वक्रों $y=x^2-4$ और $y=\frac{4-x^2}{2}$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र में स्थित है। ऐसे आयत का अधिकतम संभव क्षेत्रफल किस पूर्णांक के सबसे निकट है?

अंतराल $[-\pi / 2, \pi / 2]$ में $f(x) = \sin (x)$ का अधिकतम मान क्या है?

मान लीजिए $S$,$R$ से $R$ तक के सभी दो बार अवकलनीय फलनों $f$ का समुच्चय है,ताकि सभी $x \in (-1, 1)$ के लिए $\frac{d^2 f}{d x^2}(x) > 0$ हो। $f \in S$ के लिए,मान लीजिए $X_f$,$(-1, 1)$ में उन बिंदुओं $x$ की संख्या है जिनके लिए $f(x) = x$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ एक ऐसा फलन $f \in S$ मौजूद है जिसके लिए $X_f = 0$
$(B)$ प्रत्येक फलन $f \in S$ के लिए,$X_f \leq 2$ होता है
$(C)$ एक ऐसा फलन $f \in S$ मौजूद है जिसके लिए $X_f = 2$
$(D)$ $S$ में ऐसा कोई फलन $f$ मौजूद $\text{नहीं}$ है जिसके लिए $X_f = 1$

फलन $f(x) = x^{-x}, (x \in R)$ का अधिकतम मान $x =$ पर प्राप्त होता है।