${}^6C_r$ के अधिकतम मान और ${}^nC_3$ के बीच का अंतर $16$ है। तो $n=$

एक मेज पर $6$ अलग-अलग उपन्यास और $3$ अलग-अलग कविता की पुस्तकें हैं। यदि $4$ उपन्यास और $1$ कविता की पुस्तक को चुनकर एक शेल्फ पर इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि कविता की पुस्तक हमेशा बीच में रहे,तो ऐसी संभावित व्यवस्थाओं की संख्या क्या है?

$20$ लड़कों,$20$ लड़कियों और $20$ शिक्षकों में से $30$ व्यक्तियों की एक समिति चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए,ताकि समिति में लड़कों,लड़कियों और शिक्षकों की संख्या समान हो।

एक उम्मीदवार को $12$ प्रश्नों में से $6$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं, जो दो भागों $A$ और $B$ में विभाजित हैं, प्रत्येक में $6$ प्रश्न हैं। उम्मीदवार को किसी भी भाग से $4$ से अधिक प्रश्नों का प्रयास करने की अनुमति नहीं है। वह कितने अलग-अलग तरीकों से $6$ प्रश्नों का चयन कर सकता है?

यदि ${}^nC_{r-1}=330$,${}^nC_r=462$,और ${}^nC_{r+1}=462$ है,तो $r$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $^{n + 1}C_3 = 2 \cdot ^nC_2$ है,तो $n =$