दो संख्याओं के वर्गों का अंतर $180$ है। छोटी संख्या का वर्ग बड़ी संख्या का $8$ गुना है। दोनों संख्याएँ ज्ञात कीजिए।

(A) माना बड़ी संख्या $x$ है और छोटी संख्या $y$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$x^2 - y^2 = 180$ --- $(1)$
$y^2 = 8x$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$x^2 - 8x = 180$
$x^2 - 8x - 180 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$x^2 - 18x + 10x - 180 = 0$
$x(x - 18) + 10(x - 18) = 0$
$(x - 18)(x + 10) = 0$
अतः,$x = 18$ या $x = -10$ है।
चूँकि $y^2 = 8x$,यदि $x = -10$ है,तो $y^2 = -80$ होगा,जो वास्तविक संख्याओं के लिए संभव नहीं है। इसलिए,$x = 18$ होगा।
अब,$y$ का मान ज्ञात करते हैं:
$y^2 = 8(18) = 144$
$y = \pm \sqrt{144} = \pm 12$.
अतः,वे दो संख्याएँ $(18, 12)$ या $(18, -12)$ हैं।